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静电场的对偶性——柯西-黎曼方程的妙用

时间:2024-02-26 03:04 点击:187 次

        复变函数这门课程告诉我们,如果一个复变量函数f(z)在其定义域内的每一点都可微澳门威斯尼斯人官方网站登录,则称f(z)为其定义域上的全纯函数或解析函数。如果我们把它的实部和虚部分开:

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​f(z)在域D内解析的充要条件是,φ,ψ在D内有一阶连续偏微商,且满足如下的柯西-黎曼方程:

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​        由柯西-黎曼方程立得,满足这一条件的φ和ψ都满足著名的拉普拉斯方程,因为

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​        拉普拉斯方程是偏微分方程理论中三个最基本的偏微分方程之一,满足拉普拉斯方程的函数称作调和函数。于是,我们可以得到一个重要结论:        解析函数f=φ+iψ的实部与虚部均为调和函数。        这些都是复变函数论的知识体系的基础内容。本文我们探讨一下这些内容在物理学静电场理论中的一个有趣的应用,很容易理解,却很少有人注意到。接下来的推演可能大家就不那么熟悉了:        考察两个调和函数φ,ψ,它们分别是同一个解析函数的实部和虚部,令函数值分别等于两个常数C1和C2:

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​对于不同的常数,在xOy平面上我们将得到两个曲线族,很容易证明,这两族曲线是相互正交的:

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​只用到了柯西黎曼条件即(1)式。        这样两个曲线族不禁使我们联想到,在二维的静电场问题中,描述某个电场的等势线和电场线正是分别构成曲线族,且也是相互正交的。那么,是否可以用一个解析函数的实部和虚部分别刻画一个电场的等势线和电场线?这无疑是个诱人的想法!答案是肯定的。        考察无限长均匀带电的直线、圆柱面或圆柱体在外部空间的电场。由于与直线或圆柱轴正交的任一平面都是对称面,这个对称面上的电场就可以代表整个空间中场的分布,于是,我们只需要在二维空间里探讨这个问题。用极坐标(r,θ),由高斯定理先求场强,不难得出:(读者可以作为一个练习。)

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​        其中,λ代表电荷线密度,φ代表场中各点的电势,而ψ=2λθ=C(常数)代表电场线。(注意,与φ不同,函数ψ没有直接的物理意义,等于一个常数变成方程后才代表电场线,而求场强还要从φ入手。)        (*)式变换成笛卡尔坐标即:

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​φ和ψ都满足柯西-黎曼条件,都是调和函数,以下几式按(1)式进行验证即可。

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​        最后我们绘出物理图像:在此平面上,这个电场的等势线是以O为圆心的同心圆族,电场线是通过O点的直线族,O是与纸面垂直的无限长直线或圆柱轴与纸面的交点。如下图所示。

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​        本文最有趣的内容现在来展开。柯西-黎曼方程堪称整个数学领域最优美的偏微分方程组之一,但它所蕴含的一种对称性却很少有人关注:方程组中的φ和ψ是可以相互转换的,只需变一个符号,因为显然,进行如下代换,柯西-黎曼方程仍然成立:

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​        这一对称性对于我们探讨的静电场问题意味着什么呢?不难理解,这说明,对于一个等势线和电场线分别用一个解析函数的实部和虚部来刻画的静电场,我们可以直接得到另一个静电场,后者的等势线是前者的电场线,而后者的电场线是前者的等势线!两个静电场不妨互称为“对偶静电场”。        比如对(*)式刻画的静电场,由(2)式可以直接得到:

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​该式就刻画了无限长均匀带电直线、圆柱面或圆柱体在外部空间激发的电场的对偶电场。        怎样的电荷分布可以激发这个电场呢?只需取两个金属半平面,在它们之间保持电势差△φ,如下图所示:(角θ的方向是任意选取的,△φ=-2λ(θ2-θ1)。)

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​        和上文探讨过的电场一样,我们也选取与金属半平面正交的任一平面,转化成二维静电场问题。由对偶,与原电场相反,此新电场的等势线是通过两个金属半平面和纸面的公共点O的直线族,而新电场的电场线是以O为圆心的同心圆族。(想一想,是怎样的同心圆?是否与静电场之有源、无旋矛盾?它的源和汇分别在哪里?)        由极坐标下电场和电势的关系式

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​可以直接得到与O相距r处的电场强度为:

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​与θ无关,也验证了,场强沿着电场线即同心圆的切线方向,大小不变,由电势高的金属平面发出,直到电势低的金属面,如下图。

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​        由高斯定理,还不难算出,金属平面上各点的电荷面密度为

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可见,在平面板上靠近交线的地方,电荷面密度更大。补充一点,λ本代表原电场的电荷线密度,变换成它的对偶电场后,是一个常数。        本文这个例子提示我们,有时一个静电场的二维场分布不容易得到物理直观,也不容易求解,比如本文中两带电金属平面产生的电场,我们有可能从一个容易求解的静电场通过上文演示的“对偶变换”来得到。但是尤其要注意,这样处理是有前提的,仍以无限长均匀带电直线的电场为例,由(*)式,

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考虑复平面,​无非是

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​复对数函数当然是一个解析函数。原来如此!        所以,并非所有的静电场都可以以这样的方式得到它的对偶电场,以最简单的点电荷在它所在的平面内产生的静电场为例,分别得到φ和ψ,读者很容易验证,它们之间不满足柯西-黎曼条件!总之,在二维空间中,只要写出一个解析函数,把它的实部和虚部分开,如果实部和虚部可以分别用来刻画一个静电场的等势线和电场线,我们就可以放心地推出另一个电场,即对偶电场。

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​        对偶性是特能体现数学的魅力的一个方面,在多个分支里有多种形式的体现,所谓阴阳和谐,大美不言。同时,它也深藏于物理世界的优美结构之中。尤其耐人寻味的是,作用于静电场问题,伟大的柯西-黎曼方程所蕴含的对偶性也巧妙地得以揭示。           本站仅提供存储服务,所有内容均由用户发布,如发现有害或侵权内容,请点击举报。 •
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